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一文搞懂有趣的进制
除了十进制，世界上还有很多进制。
理解进制，有助于我们学习基础数学；进制也是理解计算机的基础。
数字的产生
文明萌芽之前，人类的祖先还没有「数」的概念。
然而人类终究是要和数字打交道的 —— 除了每天的吃喝拉撒，祖先们渐渐需要面对「打到了多少猎物」、「部落有多少人口」这类简单的统计问题。他们开始动用身上的各种部位（例如手指与脚趾）来计数，后面还发展到用石子、结绳来计数（推荐阅读：计算机简史 - 手动计算时代）
假定某个人有 4 只猫，他可能画 4 只猫作为记录。
但如果每增加一只就画一只，可能太麻烦了；我们能不能用一条竖线来表示呢？可以的，例如：| | | | 表示 4 只猫
但如果有 27 只猫，用画 27 个竖线来表示数量就显得很麻烦了：| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
而且也很不直观，不能一眼看出数量，还得自己去一个个数。
于是，古人们想到得有一种更好的办法才行，进制就这样诞生了。
什么是进制？两个要点：
- 就是你能用多少种符号来表达一个数量。例如阿拉伯数字中有 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 这十个符号来表示数量
- 进位：当要表示的数量超过一个符号能表示的极限后，要用两个数字。例如逢十进一。
此时， 一个数字不仅表示数量，它的位置也很重要。严谨地说，数字的位置更重要，100 和 1000000 中都只有一个 1，但我们知道一百万比一百要大得多。
符号与数量
如今，我们常用阿拉伯数字来表示数量。例如一辆车我们用 1 表示，两辆车我们用 2 表示。
但其实，0~10 这十个数字，都是符号而已。符号不仅仅可以用于表示数量，也可表示事物。例如我们说“3 号选手”， 这里的 3 就是指某个人；又例如 2022 年 3 月 19 号，这里的 3 指的是 3 月。
有没其他符号可以表示 ”数量 2“ 这个概念呢？ 有的，在罗马数字中，1~20 分别为：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ、Ⅺ、Ⅻ、XIII、XIV、XV、XVI、XVII、XVIII、XIX、XX。
也就是说，对于数量的表示而言，我们用什么符号都是可以的（阿拉伯数字、罗马数字），只要人们能理解就行。比如完全可以约定，J 是 11，Q 是 12， K 是 13（扑克牌）。
在国内，对数字的表示也可以用中文，例如壹贰叁肆伍陆柒捌玖，在一些正式场合中会用到。
在法国，不同数字的表示如下:
法语数字单词表
标准数字系统
如果各国都采用各自的数字系统，那么国家之间的沟通是很困难的。例如我们可能看不懂法国的单词表，法国人也看不懂我们的壹贰叁肆伍陆柒捌玖。
为了方便，目前国际间统一将阿拉伯数字用于交流。在全世界大部分范围内，阿拉伯数字都是被人们所知道的。
也就是说，阿拉伯数字是一种标准。标准的好处在于，全世界的人都知道，不用担心引起误解。比如在罗马数字中，Ⅹ 代表数字 10，但如果不事先说明这是罗马数字，人们也可能认为这是一个英文字母 X。
数字的其他含义
数字并不仅仅用于做计算。例如：
- 在长跑比赛时，为了识别运动员，通常会给每一位运动员编一个号码，显然，这些号码仅仅表示不同的运动员而已，没有数量大小的含义。
- 电话号码：仅仅是一串数字，也不用于计算
- 邮政编号：一个区域的编号，也不用于计算
- ...
理解了符号与数量，接下来我们讲讲进制。
十进制介绍
十进制，英文为 Decimal System，常缩写 Dec 或 D。
十进制也是我们日常在用的进制，这里快速过一下。
十进制中，不同位置的数字，代表的值是不一样的：
- 12 = 1×10 + 2，这里的 1 代表 10
- 120 = 1×100 + 2×10，这里的 1 代表 10 × 10 = 100
- 1200 = 1×1000 + 2×100，这里的 1 代表 10 ×10 ×10 = 1000
上式中，每个 1 代表的含义是不一样的，每左移一位，数值就大 10 倍（也可以理解为乘以 10）。
也就是说，每个 1 的乘数是不同的。乘数也可以理解为权重（权值）：
- 12 里的 1，乘数是 101
- 120 里的 1，乘数是 102
- 1200 里的 1，乘数是 103
每一个数位上的权重如图：
所以上式也可以写成：
- 12 = 1×101 + 2×100
- 120 = 1×102 + 2×101
- 1200 = 1×103 + 2×102
注意，小数部分也是这样，只不过数值小了 10 倍（可以理解为除以 10）是 10 的 负 N 次方：
0.75 = 7×10-1 + 5×10-2
在十进制中，十也称为基数。
其实我们日常生活中已经用到不少进制了：
- 六十进制：用于时间和角度的计量，例如 1 分钟等于 60 秒，1 小时等于 60 分钟。
- 十六进制：一斤等于十六两，半斤八两
- 十二进制：古代文明的共同遗产。中国古代设有 12 地支，一天有 12 个时辰；英国的一英尺等于 12 英寸，1 先令 = 12 便士，一打 = 12 个
- 五进制：例如” 正 “字计数法，逢五进一。
- 七进制：例如一周有 7 天，逢七进一。
- ......
八进制介绍
八进制，英文为 Octal，常缩写为 O 或者 o
如果，如果人类像卡通人物那样，每只手上只有 4 个手指会怎样呢？我们可能就不是用十进制，而是八进制。当要表示超过 “八”这个数量时，我们需要进位，逢八进一。例如：
| 要表示的数量 | 符号 |
|---|---|
| 一 | 1 |
| 二 | 2 |
| 三 | 3 |
| .... | ... |
| 七 | 7 |
| 八 | 10 |
也就是说，在八进制中，10 表示的数量是 “八”。
第一次接触这种概念，可能会有点蒙，但不用担心，继续往下看多几种进制，就会有点理解了。
为了方便说明一个数用的是什么进制，我们可以用括号将数字包住，并且用数字下标表明这是几进制，例如八进制的 12 可以表示为 (12)8
在八进制里，每个数的乘数是 8 的 N 次方。每左移一位，数值就大 8 倍（也可以理解为乘以 8）：
- (12)8 = (1×81 + 2×80 )10
- (122)8 = (1×82 + 2×81 + 2×80)10 = (82)10
除了十进制，还有十六进制、八进制和二进制等等常用的进制。
虽然每种进制的基数不同，但进位规则、加减乘除等运算是一样的。
二进制介绍
二进制，英文为 Binary，常缩写为 B 或 b
二进制是最简单的进制系统了，逢二进一，也是计算机中采用的进制。可以说，计算机只认识二进制，只处理二进制，像我们看到的文本、图像、视频、各种软件等等，最终都是转化为二进制让计算机处理。
| 要表示的数量 | 符号 |
|---|---|
| 一 | 1 |
| 二 | 10 |
| 三 | 11 |
| 四 | 100 |
| .... | ... |
| 七 | 111 |
| 八 | 1000 |
例如 (111)2 中，每位数的乘数也不一样了，每个乘数是右侧乘数的两倍。
(111)2 = (1×22 + 1×21 + 1×20)10 = (7)10
每一个数位上的权重如图：
当二进制的位数很多时，一连串看起来有点头皮发麻，所以一般每隔 4 为就用一个空格分割。
同理，十进制也有这样的习惯，例如每隔 3 位用逗号分割，这叫三位分节法，例如 1,000,000
在看多一个例子，(1011 0110)2 =1x27 + 0x26 + 1x5 + 1x24 +0x83 + 1x22 + 1x21 + 0x20 = (182)10
示意图：
二进制的加减乘除例子：
从上面的例子中可以看到二进制算术运算的两个特点：
- 二进制数的乘法运算，可以通过若干次的 “被乘数左移 1 位” 和 “被乘数与部分积相加” 两种操作完成
- 二进制数的除法运算，可以通过若干次的 “除数右移 1 位” 和 “从被除数或余数中减去除数” 两种操作完成
如果我们再能设法将减法操作转化为某种形式的加法操作，那么加、减、乘、除运算就全部可以用“移位”和“相加”两种操作实现了（下一篇文章会讲）。
利用上述特点能使运算电路的结构大为简化，这也是数字电路中普遍采用二进制算术运算的重要原因之一。
十六进制
十六进制，英文为 Hexadecimal，常缩写为 X。
如果说要用超过十进制的进制，例如十六进制，需要一个单独符号来代表 “十” 这个概念，人们常用字母来表示：
| 要表示的数量 | 符号 |
|---|---|
| 一 | 1 |
| 二 | 2 |
| 三 | 3 |
| 四 | 4 |
| 五 | 5 |
| 六 | 6 |
| 七 | 7 |
| 八 | 8 |
| 九 | 9 |
| 十 | A |
| 十一 | B |
| 十二 | C |
| 十三 | D |
| 十四 | E |
| 十五 | F |
| 十六 | G |
(10)16 =(16)10， (A)16 = (10)10
每一个数位上的权重如图：
不同进制的对照表
| 十进制 | 二进制 | 八进制 | 十六进制 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 3 | 3 |
| 4 | 100 | 4 | 4 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 6 | 110 | 6 | 6 |
| 7 | 111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
各个进制的表示前缀
除了用数字下标表示是几进制外，还可以有这样的表示方法：给数字加个前缀，取自各进制的英文首字母（大小写均可）：
| 进制基数（radix） | 前缀 | 示例 |
|---|---|---|
| 二进制 binary | 0b，0B | 0b11 = 2+1=3 |
| 八进制 octal | 0o，0O | 0o11 = 8+1=9 |
| 十进制 decimal | 无前缀 | 11 = 11 |
| 十六进制 hex | 0x，0X | 0x11 |
进制转换
由于多种进制的存在，它们之间的相互转换是经常会遇到的事情。
二进制与十进制
二进制转十进制：只需将每位数乘以对应的乘数，再将结果相加即可。
例如 (1011.01)2 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 0×2-1 + 1×2-2 = (11.25)10
十进制转二进制：采用 “除 2 取余，逆序排列”法：
首先用 2 整除一个十进制整数，得到一个商和余数
然后再用 2 去除得到的商，又会得到一个商和余数
重复操作，一直到商为小于 1 时为止
然后将得到的所有余数全部排列起来，再将它反过来（逆序排列）
举例：将 (173) 转为二进制过程如下
原理是什么呢？ 我们自己可以推理下。
前面我们知道二进制数转十进制数是怎么转换的：
- (1011.01)2 = 1×23 + 0×22 + 1×21 + 1×20 + 0×2-1 + 1×2-2 = 11.25
- 一个通用公式：假设十进制整数为 (S) 10，其转换为二进制数，值为 (kn kn-1 ………… k0)2 ，我们可以列出这样的公式： (kn × 2n + kn-1 ×2n-1 + ………… + k0 × 20 ) = (S) 10
- 我们将等号两边同时除以 2，可以得到商为 (kn × 2n-1 + kn-1 ×2n-2 + ………… + k1)2，余数为 k0 ；因为 1 个二进制数最多表示 1，除以 2 肯定是除不尽的，会有余数。也就是说，我们计算出了第一个二进制数是 k0；
- 再次将等号两边同时除以 2，可以得到余数 k1
- …………
- 以此类推，就可以求得二进制数的每一位了
小数转二进制：采用"乘 2 取整，顺序排列"法：
用 2 乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出
再用 2 乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出
重复操作，直到积中的小数部分为零，此时 0 或 1 为二进制的最后一位，或者达到所要求的精度为止
例如，将 0.125 转换为二进制，步骤如下：
0.125 * 2 = 0.25 ------0
0.25 * 2 = 0.5 ------0
0.5 * 2 = 1.0 ------1
当小数部分为 0 就可以停止乘 2 了，然后正序排序就构成了二进制的小数部分：0.001
其原理，和十进制转二进制的原理一样。
特别注意，不是所有的十进制数都能转化为有限位二进制数的。举个例子，十进制小数 0.7，转化为二进制小数是：0.1011001100110......，是无限循环小数，循环节是 0110。
那些能分解为以 (1/2)n 为单位的十进制小数，才可以转化为有限位数的二进制小数。
如十进制数：13/16=0.8125，它可以是拆成：13/16=1/2+1/4+1/16，或者直接可以看作是 13 个 1/16 所组成。而 1/2，1/4，1/16 这些数都是符合 (1/2)n 形式的数。
如果又有整数又有小数：将整数部分和小数部分先单独转为二进制，再合在一起就可以了。
二进制与十六进制
由于 4 位二进制数恰好有 16 个状态，而把这 4 位二进制数看作一个整体时，它的进位输出又正好是逢十六进一，所以只要从低位到高位，将整数部分每 4 位二进制数分为一组，并代之以等值的十六进制数。
例如，将二进制数（0101 1110.1011 0010）化为十六进制数：
若二进制数整数部分最高一组不足 4 位时，用 0 补足 4 位：小数部分最低一组不足 4 位时，也需用 0 补足 4 位。
十六进制转二进制，只需反过来，每一位十六进制数用等值的 4 位二进制数代替就行。例如，将 (8FA.C6) 转为二进制：
二进制与八进制
与十六进制和二进制，互相转换基本一样。
在将二进制数转换为八进制数时，只要将二进制数的整数部分，从低位到高位每 3 位分为一组，并代之以等值的八进制数，同时将小数部分从高位到低位每 3 位分为一组并代之以等值的八进制数就可以了。
二进制数最高一组不足 3 位或小数部分最低一组不足 3 位时，仍需以 0 补足 3 位。
例如，若将二进制数 (011110.010111) 化为八进制数：
反之，若将八进制数转换为二进制数，则只要将八进制数的每一位代之以等值的 3 位二进制数即可。例如，将 (52.43) 转换为二进制数时，得到：
其他进制
8 进制转 10 进制、16 进制转 10 进制：就只能按权重展开后，相加得到十进制了。
10 进制转 8 进制、10 进制转 16 进制，可以先转为 2 进制，再分组转换。
进制转换工具
如果我们已经知道如何转换进制了，当数字很大的时候，自己转换就是浪费时间，并且容易出错，因此，我们可以借住计算机帮助我们转换。
Win10 自带一个计算器，可以通过按下快捷键 Win + R，输入 calc 并回车打开。
在菜单栏里选择程序员：
练习
手动实现各进制下的转换
自行实现在各进制下的加减乘除
用计数器验证结果