306-加法器的优化

ALU 提供的加法和减法，就基本都是由加法器来实现的， 我们现在学习的加法器，是由一个一个的全加器串连而成，它在性能上存在着很大的问题，而这个问题究竟是什么，我们又该如何解决，在这一节，我们将来一起探讨这件事情。

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我们还是来看这个四位加法器的例子，在实现中，我们是用四个全加器，构成了这个四位的加法器， 我们注意到，当把这个加法器的输入都准备好时， 其实只有最右边的这个全加器的三个输入都准备好了， 左边这三个全加器，它的进位输入都还没有产生， 所以实际上只有最右边这个全加器，可以得到正确运算结果，等他将进位的输出，传接到下一个全加器后，下一个全加 器才可以开始运算，进而产生新的进位输出。 这样进位输出，像波浪一样，依次从低位到高位传递， 这样的加法器，也因此得名为行波进位加法器，它的英文名称也简称为 RCA

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这个加法器，从结构上来看，低位全加器的进位输出，都连接到高一位全加器的进位输入， 它的优点是电路布局简单，设计方便， 我们只要设计好了全加器，连接起来就构成了多位的加法器。 但这缺点也很明显，也就是高位的运算必须等待低位的运算完成， 这样造成了整个加法器的延迟时间很长。

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因此，我们要来分析一下，这个行波进位加法器延迟的情况。 我们还是以四位的形波进位加法器为例，我们把构成这个加法器的四个全加器， 内部结构打开，每个全加器的进位输出连接到下一个全加器的进位输入， 因此，我们现在看到的就是一个四位的形波进位加法器的门电路的实现。 要对一个电路的性能进行分析，我们就要找出其中的最长路径。 也就是找出所有的从输入到输出的电路连接中，经过的门数最多的那一条，经过分析，我们可以发现， 实际上红色标明的这条路径，就是这个加法器延迟最长的路径， 也被称为关键路径。

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我们来做一个简单的分析， 对于最低位的全加器，它在 A、B 和 Cin 都已经准备好， 其实，输入信号进入到这块电路之后，在连接线上传递需要花时间。 称为线延迟，而经过这样的门，也需要花时间，称为门延迟。 在进行设计原理分析时，我们主要关注门延迟。 因此从这条通路来看，产生第一个 s 输出，需要通过两个门的延迟。 所以它显然不是最长的路径，因为往下，这里还会经过一个门， 然后再经过一个门， 要经过三个门，才会产生这个全加器的进位输出。 当然我们还要注意，为什么是从这里来， 而不是从这个 B 的与门的另一个输入，我们可以发现，这个与门的另一个输入，直接连接了 Cin， 所以它不如从上面来的这条路径更长。当然，从 A 出发或着从 B 出发都是一样的， 所以对于第一个全加器，它的最长路径，是这一条

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然后进入第二个全加器，那么等传递到这个与门的时候， 我们会发现，这个与门下面这个输入，经过了三级门才到达。 而上一个输入，只要经过一级门就到达了， 所以显然最长路径需要从下面这条通路开始计算的。 然后，在这个全加器中，经过两个逻辑门，产生了进位输出， 依次往下传递，在每一个全加器中，都经过了两个逻辑门， 最后产生了进位输出。我们要注意， 在这个进位输出产生时，所有的全加器的 S 都已经产生了。 即使最晚产生的这个 S，也比这个 Cout 早了一级门， 那如果我们把每一个门延迟都记为 T 的话， 首先在每个全加器内部，都要经过 2T 个延迟，然后还要加上最开始的这一个门延迟，因此我们就可以计算出，总门延迟时间就是 2T 乘以全加器的数量，在加上 1T。 对于四位的形波进位加法器，一共是九个门延迟， 那如果是 N 位的形波进位加法器，那就一共是 2N+1 个门延迟， 这样对于 32 位的形波进位加法器来说， N 就等于 32，所以一共是 65 个门延迟。

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那 65 个门延迟，到底代表着什么呢? 这样看起来还是太抽象了，我们选一个大家熟悉的物品，有一些感性的认识。 比如说一款著名的智能手机，它内部的 CPU，采用着 28nm 的制造工艺， 主频是 1.3GHz，也就是时钟周期是 0.66ns， 这就是最近的两个时钟上升延之间的时间长度，因为加法器的输入是来自寄存器，而且加法器的输出，包括运算的和，和进位输出， 都是要传递到寄存器保存起来。 所以说这些信号从前一级的寄存器，经过加法器的所有逻辑，一直到下一级寄存器的输入， 不能超过 0.66ns，那实际情况又是怎么样的呢? 对于一个 32 位的形波进位加法器， 如果采用 28nm 的制造工艺，没延迟大约为 0.02ns， 因为总共需要 65 个门的延迟，所以一共需要 1.3ns， 这远远超过了我们所要求的 0.66ns， 采用这样的加法器，它的主时钟频率，最多也只能达到 769MHz， 这里，我们都还没有考虑寄存器的建立保持时间， 还有连线的延迟。实际的频率只会比这个更低

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所以说，这样的加法器，与我们现实中实际使用的加法器，性能差距是非常大的。 那我们应该如何进行优化呢? 首先，还是要分析一下这个加法器的问题所在， 影响性能的核心问题，就在于高位的运算，必须要等待低位的进位输出讯号。

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那我们是否可以提前计算出这些进位信号，以提高性能呢? 那我们就对进位输出信号进行重点的分析， 对于每个全加器，它的进位输出信号记为 Ci+1，Ci+1 可以通过这样的逻辑表达式计算出来， 它的意思就是，如果这个全加器的三个输入， Ai，Bi 或着 Ci，只要任意其中两个为一， 则进位就是 1，这是很自然的，三个一位的二进制数相加， 有两个或着两个以上的 1，则自然会产生进位。我们再将这个算式当中的 Ci 提取出来， 就可以得到这样一个表达式。在这个表达式当中，Ai 和 Bi 都是在运算之初就是确定的，所以为了表达的简便， 我们再设定两个信号，一个称为 Gi，它就等于 Ai 和 Bi 的与， 另一个是 Pi，它就等于 Ai 和 Bi 的或，这样将 Gi 和 Pi，代入到这个算式当中， 就得到了一个更为简化的算式。我们只需要记住的是，Pi 和 Gi 是由 Ai 和 Bi 产生的，他们都是在运算之初，就可以确定了的信号。

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那么通过这样一个通用的表达式，我们来看，每一个进位输出讯号，是如何计算出来的。 首先，C1 是通过 G0、P0 和 C0 计算出来的， 那么在运算之初，G0 和 P0 都是已知的，C0 也是已知的。 所以 C1 不用进行任何的等待，直接就可以计算出来。

而 C2，是由 G1、P1 和 C1 运算而得的。 在这里 G 和 P 都是已知的， 但是 C1 不是这个加法器的直接输入， 但如果我们想提前计算出 C2，我们可以将上一个算式，代入到这个算式当中。 也就是 C1 转换成上一个算式，我们再将这个算式展开， 除了 G 和 P 之外，只有 C0，所有的信号都是在运算之初就可以确定的， 这样我们就不用等待最低位的全加器产生 C1， 而是通过整个加法器的输入，直接计算出 C2。与之类似， 原本 C3 也要等待 C2 的运算，那么现在将 C2 这个算式带进来， 变成这样，然后再进行展开。展开后的算式中，除了 G 和 P 也只有 C0，所以所有的信号也都是在运算之初就可以确定的了。 同样，我们还可以得到 C4，越高位的进位输出信号，就越复杂。 但是我们可以看到，C4 的算式当中，除了 G 和 P 之外，也只有 C0 所以它也不用依赖低位的进位信号

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通过这样的转换， 我们就有了提前计算所有的进位输出信号的方法。 那它在硬件上是如何实现的呢？我们以 C4 为例， 我们将刚才 C4 的这个表达式写成竖排的形式，它对应的硬件电路是这样的， 我们可以看到，最外层一共有五组元素进行 或运算，对应了最后的这个五数字的或门。 而其中第一个元素是 G3，G3 就是 A3 和 B3 的与， 所以在这里我们可以看到，A3 和 B3 经过了一个与门， 与门的输出直接连到了最后的这个或门上。

第二个元素是 P3 和 G2 的与， 它就对应了这个与门，其中一个输入是 P3， 而 P3 是 A3 和 B3 的或。另一个输入是 G2， G2 是 A2 和 B2 的与。

再往下看，第三组元素对应了这个 3 输入的与门。 第一个输入是 P3，来自于这里。 第二个输入是 P2，来自这里。第三个输入是 G1，来自这里。 好，依此类推，就可以达到第四组元素，第五组元素。

这样我们就可以发现 C4 只需要通过 A，B 和 C0 就可以计算出来， 而且计算 C4 的延迟只需要三级门，这是一级，这是第二级， 这是第三级。其实由此类推，计算任意一级的进位输出都只需要三级门延迟，与加法器的位数无关。 但只是如果进一步拓宽加法器的位数，像这样最后的算式会变得越来越长，对应的电路就会变得越来越复杂。

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那先不谈这个缺点，至少我们有了提前计算进位输出的方法， 用这样的方法实现了加法器就被称为超前进位加法器。它的英文缩写也可以写成 CLA。 这就是一个四位的超前进位加法器。 它仍然由四个全加器构成，但是每个全加器的进位 输入并不来自于前一级的全加器，而是来自一个统一的逻辑， 这就是刚才我们展示的超前进位的逻辑。对于每一个进位， 其实都只需要三级门延迟就可以计算出来。然后进入到全加器当中， 还需要经过一级门延迟才可以计算出对应的 S 信号。 因此，对于超前进位加法器总的延迟时间为 4 级的门延迟。 而四位的行波进位加法器总延迟时间为 9 级的门延迟。这个性能的提升就是非常可观的。

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而且更为重要的是超前进位加法器它的门延迟与加法的位宽是没有关系的。 所以对于 32 位的加法器如果采用行波进位的方式，我们已经分析过需要 65 级的门延迟， 那如果采用超前进位的方式，理想情况下也只需要四级的门延迟，但可惜的是， 这也只是一个理想。因为要实现 32 位的完全的超前进位，电路就会变得非常的复杂。 我们可以看一看 C31 的超前进位的表达式就会变成这个样子。 也许这样就需要 32 输入的与门和 32 输入的或门。 这个在实现上就不太可行了。

因此通常的实现方法， 是采用多个小规模的超前进位加法器拼接而成一个较大的加法器， 比如说，要生成一个 32 位的加法器，我们可以先做一个 8 位的超前进位加法器， 然后将四个八位的超前进位加法器用行波进位的方式连接起来，从而构成一个 32 位的加法器。 那么这样分析，一个 32 位的行波进位加法器它的门延迟是 1.3 个 ns， 而一个超前进位加法器只需要 0.08 个 ns，也就是四级门延迟。 如果我们采用四个超前进位加法器拼接成一个 32 位的加法器，那也只需要 0.26ns。 这个 0.26ns 是怎么算出来的呢？就留给大家自己来计算了。 那么因为这个加法器的关键路径是 0.26ns， 那么它就可以运行在 3.84GHz 的时钟频率下，那么至少它就不会 成为我们整个复杂的 CPU 设计的关键路径，不会降低整个芯片的使用频率了。

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这个经过改进的加法器， 不仅功能正确，而且在性能和可实现性两个方面达到了比较好的平衡。 那现在把它和之前实现的逻辑运算部件整合在一起， 就构成了一个 ALU 可以提供基本的算术运算和逻辑运算的功能了。